Apa perbedaan antara koordinat dan komponen?


Jawaban 1:

Ini adalah kebingungan yang sangat umum untuk dimiliki, dan dalam pengalaman saya, orang-orang terkenal buruk dalam menjelaskan konsep ini. Kami minta maaf karena Anda harus berurusan dengan orang-orang yang kasar selain ekspositor yang buruk.

Dalam ruang vektor sewenang-wenang, Anda tidak dapat berbicara tentang komponen. Mereka sebenarnya tidak ada. Sekarang, Anda dapat memaksakannya pada ruang dimensi-terbatas dengan menyediakan transformasi linear bijektif dari ruang vektor arbitrer ke Fn

, tapi kemudian mereka hanya itu: pemaksaan, karena transformasi linear bijektif lainnya akan memilih "komponen" calon yang berbeda.

Komponen ada di Fn

karena sifat sebenarnya dari objek yang terlibat. Jadi Anda tidak perlu dasar, Anda hanya bisa melihat objek yang sewenang-wenang (a, b, ..., n)

, dan temukan salah satu komponennya, karena mereka dibangun ke dalam objek. Ini bisa membingungkan karena kami juga menulis vektor koordinat dengan cara ini, dan ketika basis adalah basis standar, tidak ada perbedaan antara komponen dan koordinat. Namun, dengan dasar lain, akan ada perbedaan.

(Sunting: Val membuat poin penting dalam komentar. Saya seharusnya lebih berhati-hati ketika saya mengatakan ada "tidak ada perbedaan". Faktanya adalah bahwa koordinat dan komponen tidak pernah secara konseptual sama, tetapi saya bermaksud mengatakan bahwa dalam standar kasus dasar mereka akan sama secara numerik.)

Karena tidak memiliki dasar sama sekali, Anda mungkin ingin mengatakan bahwa Fn

masih memiliki koordinat yang tersirat oleh komponennya. Tapi, menurut saya, ini tampak konyol, karena Anda tidak dapat melakukan hal yang sama di ruang lain.

Jadi jawaban singkatnya adalah: Ya, ada perbedaan, karena komponen adalah bagian dari objek.

Adapun gagasan "koleksi vektor" Anda, mereka pada dasarnya sama. Tetapi mudah untuk membayangkan kumpulan vektor yang bukan ruang vektor: misalnya lingkaran dalam R2

. Ini jelas merupakan koleksi, dan objek di dalamnya pasti vektor, tetapi ini bukan ruang vektor.

Apa yang saya anggap Anda maksud dengan "koleksi" adalah apa yang kita sebut sebagai "koleksi terstruktur yang berarti", dan struktur yang bermakna digambarkan secara tepat sebagai kelompok abelian yang unsur-unsurnya dapat diskalakan oleh objek-objek dalam suatu bidang. Dalam pengertian itu, gagasan Anda benar, meskipun agak kurang transparan.

Jika Anda ingin mempelajari informasi lebih lanjut, silakan kunjungi situs web komponen.


Jawaban 2:

Koordinat (biasanya disebut seperangkat koordinat) menentukan titik dalam ruang. Satu angka diperlukan untuk setiap dimensi dalam sistem. Sepasang set koordinat dapat menentukan vektor.

Jadi dalam diagram ini:

koordinat untuk titik a adalah (4,4) dan untuk titik b adalah (9, 7) di mana angka pertama adalah posisi sepanjang sumbu x dan yang kedua adalah posisi sepanjang sumbu y.

Dua set titik ini dapat menentukan vektor

ABAB

. Panjang vektor,

ABlAB_l

, dapat ditentukan dengan mengurangi koordinat untuk titik a dari yang untuk titik b dan menerapkan teorema Pythagoras:

ABl=[(94)2+(74)2]12=5.81AB_l = [(9–4)^2 + (7–4)^2]^{\frac{1}{2}} = 5.81

dan sudutnya

θ\theta

vektor ditentukan oleh koordinat juga:

tanθ=(74)(94)tan \theta = \dfrac{(7-4)}{(9-4)}

θ=30.9 degrees\theta = 30.9 \text{ degrees}

Komponen vektor ini sepanjang sumbu x,

ABxAB_x

, ditunjukkan oleh garis putus-putus vertikal. Itu diberikan oleh perbedaan antara dua koordinat x:

94=59-4 = 5

.

Itu juga diberikan oleh

ABx=ABlcosθAB_x = AB_l cos \theta